很早之前就只知道一点欧拉函数的使用，现在来总结一下，有哪些我没懂的和我懂了的
欧拉定理
欧拉定理，也称费马-欧拉定理，若n,a为正整数，且n,a互质，即gcd(a,n) = 1，则a^φ(n) ≡ 1 (mod n)
欧拉函数
欧拉函数是求小于等于n的数中与n互质的数的数目
如果n是质数那么1到n-1所有数都是与n互质的，所以φ(n) = n-1如果n是合数。。。自己算吧例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质
请思考以下问题：
任意给定正整数n，请问在小于等于n的正整数之中，有多少个与n构成互质关系？（比如，在1到8之中，有多少个数与8构成互质关系？）
计算这个值的方法就叫做欧拉函数，以φ(n)表示。在1到8之中，与8形成互质关系的是1、3、5、7，所以 φ(n) = 4。
φ(n) 的计算方法并不复杂，但是为了得到最后那个公式，需要一步步讨论。
第一种情况
如果n=1，则 φ(1) = 1 。因为1与任何数（包括自身）都构成互质关系。
第二种情况
如果n是质数，则 φ(n)=n-1 。因为质数与小于它的每一个数，都构成互质关系。比如5与1、2、3、4都构成互质关系。
第三种情况
如果n是质数的某一个次方，即 n = p^k (p为质数，k为大于等于1的整数)，则
比如 φ(8) = φ(2^3) =2^3 – 2^2 = 8 -4 = 4。
这是因为只有当一个数不包含质数p，才可能与n互质。而包含质数p的数一共有p^(k-1)个，即1×p、2×p、3×p、…、p^(k-1)×p，把它们去除，剩下的就是与n互质的数。
上面的式子还可以写成下面的形式：
可以看出，上面的第二种情况是 k=1 时的特例。
第四种情况
如果n可以分解成两个互质的整数之积，
n = p1 × p2
则
φ(n) = φ(p1p2) = φ(p1)φ(p2)
即积的欧拉函数等于各个因子的欧拉函数之积。比如，φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24。
这一条的证明要用到“中国剩余定理”，这里就不展开了，只简单说一下思路：如果a与p1互质(a<p1)，b与p2互质(b<p2)，c与p1p2互质(c<p1p2)，则c与数对 (a,b) 是一一对应关系。由于a的值有φ(p1)种可能，b的值有φ(p2)种可能，则数对 (a,b) 有φ(p1)φ(p2)种可能，而c的值有φ(p1p2)种可能，所以φ(p1p2)就等于φ(p1)φ(p2)。
第五种情况
因为任意一个大于1的正整数，都可以写成一系列质数的积。
根据第4条的结论，得到
再根据第3条的结论，得到
也就等于
这就是欧拉函数的通用计算公式。比如，1323的欧拉函数，计算过程如下：
欧拉公式
还有一个欧拉公式eix = cosx + isinx
把x代入公式就是， eiπ + 1 = 0
引用一个名人的话（我忘了是谁(￣▽￣lll)）：”它把自然对数e，虚数i，无理数π，自然界中的有和无（1和0）巧妙的结合了起来，上帝如果不存在，怎么会有这么优美的公式。如何见到它第一眼的人没有看到它的魅力，那它一定成不了数学家”
费马小定理
由欧拉函数的特例，如果n是质数，则可得欧拉定理 a^(n-1)≡ 1 （mod n）